0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

3 х 2 1 х 3 производная

Решение производных

Данный онлайн калькулятор вычисляет производную функции. Программа не только вычисляет ответ, она производит пошаговое решение. Выбирается порядок дифференцирования.
Как пользоваться калькулятором для нахождения производных онлайн:
1. Введите математическое выражение с переменной x, в выражении используйте стандартные операции: + сложение, — вычитание, / деление, * умножение, ^ — возведение в степень, а также математические функции.
2. Выберите порядок дифференцирования (решения производных от первого до пятого порядка включительно).
3. Нажмите кнопку — Вычислить производную.
4. Через несколько секунд внизу отобразится пошаговое решение производной с подробными комментариями.

При помощи нашего калькулятора вы можете найти производную онлайн как от элементарной функции, так и от сложной, не имеющей решения в аналитическом виде.
Калькулятор поможет найти производную функции онлайн.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

  • : x^a

  • : Sqrt[x]
  • : x^(1/n)
  • : a^x
  • : Log[a, x]
  • : Log[x]
  • : cos[x] или Cos[x]
  • : sin[x] или Sin[x]
  • : tan[x] или Tan[x]
  • : cot[x] или Cot[x]
  • : sec[x] или Sec[x]
  • : csc[x] или Csc[x]
  • : ArcCos[x]
  • : ArcSin[x]
  • : ArcTan[x]
  • : ArcCot[x]
  • : ArcSec[x]
  • : ArcCsc[x]
  • : cosh[x] или Cosh[x]
  • : sinh[x] или Sinh[x]
  • : tanh[x] или Tanh[x]
  • : coth[x] или Coth[x]
  • : sech[x] или Sech[x]
  • : csch[x] или Csch[е]
  • : ArcCosh[x]
  • : ArcSinh[x]
  • : ArcTanh[x]
  • : ArcCoth[x]
  • : ArcSech[x]
  • : ArcCsch[x]
  • [19.67] =19: integral part of (19.67) — выделяет целую часть числа (integerPart)

Для того, чтобы найти производную функции нужно написать в строке: f[x], x. Если Вам требуется найти производную n-го порядка, то следует написать: f[x], . В том случае, если Вам требуется найти частную производную функции напишите в окне гаджета: f[x, y, z,…,t], j, где — интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по некоторой переменной порядка n, то следует ввести: f[x, y, z,…,t], , где означает тоже, что и Выше.

Важно подчеркнуть, что калькулятор выдает пошаговое нахождение производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

Как найти производную. Таблица производных

Как мы знаем,

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Математический смысл этого определения понять не очень просто, поскольку в школьном курсе алгебры понятие предела функции либо не изучают совсем, либо изучают очень поверхностно. Но для того, чтобы научиться находить производные различных функций, это и не обязательно.

Тем, кто все же хочет понять, что такое предел числовой последовательности, я предлагаю посмотреть ВИДЕОУРОК:

  • Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. В результате выполнения этой операции мы по определенным правилам получаем другую функцию:

    В этом равенстве — функция, от которой мы берем производную,

    — функция, которая получается в результате этой операции.

    Для того, чтобы каждый раз не искать производные элементарных функций, используя определение производной, существует таблица производных элементарных функций :

    1 . Производная константы равна нулю:

    2 . Производная степенной функции:

    Заметим, что может принимать любые действительные значения.

    1.

    2.

    3.

    3 . Производная показательной функции:

    Частный случай этой формулы:

    4 . Производная логарифма:

    Частный случай этой формулы:

    5 . Производные тригонометрических функций:

    6 . Производные обратных тригонометрических функций:

    Правила дифференцирования:

    1. Производная суммы двух функций:

    2. Производная произведения двух функций:

    3. Производная дроби:

    4. Производная произведения функции на число равна произведению числа на производную функции (число «выносится» за знак производной):

    Чтобы правильно найти производную функции , полезно придерживаться такого алгоритма :

    1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции.

    2. Отделите в явном виде коэффициенты.

    3. Если возможно, упростите выражение , используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции

    4. Вспомните, чему равны производные этих функций или посмотрите в таблице производных.

    5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции и вспомните правило, по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций.

    Пример 1. Найти производную функции:

    0″ title=»f(x)=log_<2>,

    x>0″/>

    Используя свойства логарифмов, упростим выражение в правой части уравнения функции:

    Так как по условию 0″ title=»x>0″/>, следовательно,

    Пример 2. Найти производную функции:

    1. Упростим каждую дробь, используя свойства степени :

    Мы видим, что наша функция представляет собой сумму степенных функций.

    Пример 3. Найти производную функции

    Сначала запишем каждое слагаемое в виде степени и выделим в явном виде числовые коэффициенты:

    Теперь легко найти производную:

    Пример 4. Найти производную функции:

    Мы видим, что наша функция представляет собой дробь, в числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.

    Найдем производную функции по формуле производной дроби:

    КАК ИСКАТЬ ПРОИЗВОДНУЮ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ читайте здесь

    Видеоурок «Производная сложной функции» смотрите здесь.

    Производная функции.

    Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

    Производную определяют как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел есть. Функция, которая имеет конечную производную (в некоторой точке), называется дифференцируемой (в данной точке).

    Процесс нахождения производной является дифференцированием. Обратный процесс — вычисление первообразной — интегрирование.

    Изображение понятия производной:

    Рассмотрим взятую наугад внутреннюю точку x области определения функции y = f(x).

    Разность где x — тоже внутренняя точка области определения, является приращением аргумента в точке x.

    Разность является приращением функции в точке x, соответствующим приращению и обозначают как .

    Производной функции y = f(x) в точке x является предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел есть и конечен, то есть:

    Основные свойства производных.

    Если в точке x есть конечные производные функций v = v(x) и u = u(x), тогда в этой точке есть и производные суммы, разности, произведения и частного таких функций, при этом:

    Читать еще:  Обучение ПТМ без отрыва от производства

    1. ,

    2. ,

    3. ,

    4. при ,

    5. , .

    1. Производная сложной функции.

    Если у функции y = f(x) есть производная в точке x, а у функции y = g(x) есть производная в точке y = f(x), тогда у сложной функции h(x) = g(f(x)) тоже есть производная в точке x, при этом:

    2. Достаточное условие монотонности функции.

    Если во всех точках интервала (a; b) выполняется неравенство:

    то функция y = f(x) возрастает на этом интервале.

    Если при то y = f(x) убывает на (a; b).

    3. Необходимое условие экстремума функции.

    Если точка x оказывается точкой экстремума функции y = f(x) и в этой точке есть производная , тогда она равняется 0:

    4. Признак максимума функции.

    Если функция y = f(x) определена на интервале (a; b), непрерывна в точке , у нее есть производная на интервалах , и на интервале и , на интервале , то точка x оказывается точкой максимума функции:

    5. Признак минимума функции.

    Если функция определена на интервале , непрерывна в точке , у нее есть производная на интервалах , и , на интервале и на интервале , то точка x оказывается точкой минимума функции:

    Правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции.

    Чтобы вычислить самое большое и маленькое значения функции, которая имеет на отрезке конечное количество критических точек (точек из области определения, обращающих производную функции в ноль либо не существует), необходимо определить значения функции в каждой критической точке и на концах отрезка и выбрать самое большое и маленькое из полученных чисел.

    Определение производной функции.

    Пусть в некоторой окрестности точки определена функция . Производной функции является такое число A, что функцию в окрестности можно представить как:

    если A существует.

    Определение производной функции через предел.

    Пусть в некоторой окрестности точки определена функция . Производной функции f в точке является предел, если он существует:

    Общепринятые обозначения производной функции в точке .

    Обратите внимание, что последнее зачастую обозначает производную по времени (в теоретической механике).

    Геометрический и физический смысл производной.

    Тангенс угла наклона касательной прямой.

    Если у функции есть конечная производная в точке , тогда в окрестности ее можно приблизить линейной функцией:

    Функция является касательной к f в точке . Число называется угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

    Скорость изменения функции.

    Пусть — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени . Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени

    В общем производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , т.е. скорость протекания процесса, который описан зависимостью

    Примеры производных функций.

    • Пусть . Тогда

    • Пусть . Тогда если то

    где обозначает функцию знака. А если то , а следовательно не существует.

    Примеры. №1. Найти производную функции

    №1. Найти производную функции .

    №2. Найти производную функции .

    №3. Точка движется по закону х(t) = t – sin t. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t=4с.

    Воспользуемся формулой (3.3.1):

    V= х′(t) = (t – sin t) ′ = 1 – cos t,

    V(4)=1–cos 4»1,6 (м/с).

    Аналогично по формуле (3.3.2):

    а= V′ = (1 – cos t) ′ = sin t,

    а(4)=sin 4»–0,76 (м/с 2 ).

    №4. Найти дифференциал функции f (x) = ln(x 2 +1).

    По формуле (3.8.1) получим

    df = (ln (x 2 +1)) ′dx =

    №5. Найти производную второго порядка от функции f (x) = sin 2 х.

    №6. Вычислить значение дифференциала функции f (x) = х 3 +2х, когда х изменяется от 1 до 1,1.

    Прежде находим общее выражение для дифференциала этой функции:

    df = (x 3 +2x) ′dx = (3x 2 +2)dx.

    Определим приращение аргумента Δx=dx = 1,1–1=0,1.

    Подставляя значенияdx=0,1иx=1в последнюю формулу, получаем искомоезначение дифференциала: df=0,5.

    №7. Используя понятие дифференциала, найти приближенное значение .

    Рассмотрим функцию f(x)= . Требуется вычислить значение f(1,06). Выберем х = 1, Δх = 0,06 и воспользуемся формулой (3.7.2)

    f(1+0,06) ≈ f (1)+f / (1) 0,06= .

    Здесь мы воспользовались равенством

    Варианты заданий

    №2.1. Найти производные следующих функций:

    1. у = сos 3 x;

    2. ;

    3. у=(3x+2)(x 2 +4x–1);

    4. ;

    5. ;

    6. ;

    7. ;

    8. ;

    9. ;

    10.

    11.

    12.

    13.

    14. у =

    15. у =

    16.

    17.

    18.

    19. у = sin 3 (2x + π/6)

    20. y = (3x+1) 2 (2x-3) 7

    21.

    22. y = cos(sin(cos(sinx)))

    23. y = x 3 + e x –cos3x

    24.

    25.

    26.

    27.

    28.

    29.

    30.

    31.

    35. y =

    №2.2. Найти производную данной функции в точке х:

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. .

    №2.3. Найти производные указанных порядков для следующих функций:

    1. y = ln cos x, y // =?;

    2. y = 5 x , y /// =?;

    3. y = sin 2 x, y /// =?;

    4. ;

    5. , у // =?;

    6. .

    №2.4. Решить следующие задачи:

    1. Составить уравнение касательной к гиперболе в точке с абсциссой х=–0,5.

    2. Точка движется по прямой так, что ее расстояние s от начального пункта через t сек. равно . В какие моменты точка была в начальном пункте? В какие моменты ее скорость равна нулю?

    3. Количество вещества, протекшее через проводник, начиная с момента времени t=0, дается формулой Q=2t 2 +3t+1 (кулонов). Найти силу тока в конце пятой секунды.

    4. Составить уравнения касательных к линии в точках ее пересечения с осью абсцисс.

    №2.5. Найдите производную указанной функции, сначала по х, считая t постоянной, а затем по t, считая х постоянной:

    1.

    2.

    3.

    №2.6. Найти дифференциалы указанных порядков для следующих функций:

    1. , d–?

    2. , d–?

    3. ln (ln x), d–?

    4. sin 2x, d 2 –?

    5. e cos x , d 2 –?

    6. e x +x 2 , d 3 –?

    7. , d–?

    8. e 2x , d (n) –?

    №2.7. Вычислить приближенно:

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. ;

    Контрольные вопросы

    1. Что такое приращение аргумента и приращение функции.

    2. Какие значения могут они принимать?

    3. Дайте определение производной функции в точке.

    4. Запишите различные обозначения производной.

    5. Что является биологическим смыслом производной?

    Читать еще:  Любовь женщины стрельца и водолея

    6. Объясните алгебраический, физический смысл производной?

    7. Объясните геометрический смысл производной.

    8. Приведите примеры производной.

    9. Что называется производной сложной функции?

    10. Что называется производной высшего порядка?

    11. Дайте понятие дифференциала функции.

    12. Для всех ли функций существует дифференциал?

    13. В чем состоит алгебраический смыслы дифференциала

    14. В чем состоит геометрический смыслы дифференциала?

    15. Докажите, что дифференциал аргумента равен его приращению.

    16. Перечислите свойства дифференциала.

    17. Дайте определения, в том числе в виде математического выражения, дифференциала 2-го порядка, n-го порядка.

    188.64.169.166 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

    Отключите adBlock!
    и обновите страницу (F5)

    очень нужно

    Правила вычисления производных

    • Материалы к уроку
    • Скачать все правила

    Если следовать определению, то производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δ y к приращению аргумента Δ x :

    Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f ( x ) = x 2 + (2 x + 3) · e x · sin x . Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.

    Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.

    Производные элементарных функций

    Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.

    Итак, производные элементарных функций:

    Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:

    В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:

    (2 x 3 )’ = 2 · ( x 3 )’ = 2 · 3 x 2 = 6 x 2 .

    Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.

    Производная суммы и разности

    Пусть даны функции f ( x ) и g ( x ), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:

    Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, ( f + g + h )’ = f ’ + g ’ + h ’.

    Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g , и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.

    Задача. Найти производные функций: f ( x ) = x 2 + sin x; g ( x ) = x 4 + 2 x 2 − 3.

    Функция f ( x ) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:

    f ’( x ) = ( x 2 + sin x )’ = ( x 2 )’ + (sin x )’ = 2 x + cos x;

    Аналогично рассуждаем для функции g ( x ). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):

    g ’( x ) = ( x 4 + 2 x 2 − 3)’ = ( x 4 + 2 x 2 + (−3))’ = ( x 4 )’ + (2 x 2 )’ + (−3)’ = 4 x 3 + 4 x + 0 = 4 x · ( x 2 + 1).

    Ответ:
    f ’( x ) = 2 x + cos x;
    g ’( x ) = 4 x · ( x 2 + 1).

    Производная произведения

    Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения strike «>равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:

    ( f · g ) ’ = f ’ · g + f · g ’

    Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.

    Задача. Найти производные функций: f ( x ) = x 3 · cos x; g ( x ) = ( x 2 + 7 x − 7) · e x .

    Функция f ( x ) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:

    f ’( x ) = ( x 3 · cos x )’ = ( x 3 )’ · cos x + x 3 · (cos x )’ = 3 x 2 · cos x + x 3 · (− sin x ) = x 2 · (3cos x − x · sin x )

    У функции g ( x ) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g ( x ) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:

    g ’( x ) = (( x 2 + 7 x − 7) · e x )’ = ( x 2 + 7 x − 7)’ · e x + ( x 2 + 7 x − 7) · ( e x )’ = (2 x + 7) · e x + ( x 2 + 7 x − 7) · e x = e x · (2 x + 7 + x 2 + 7 x −7) = ( x 2 + 9 x ) · e x = x ( x + 9) · e x .

    Ответ:
    f ’( x ) = x 2 · (3cos x − x · sin x );
    g ’( x ) = x ( x + 9) · e x .

    Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.

    Производная частного

    Если есть две функции f ( x ) и g ( x ), причем g ( x ) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h ( x ) = f ( x )/ g ( x ). Для такой функции тоже можно найти производную:

    Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g 2 ? А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.

    Задача. Найти производные функций:

    В числителе и знаменателе каждой дроби стоят элементарные функции, поэтому все, что нам нужно — это формула производной частного:


    По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:

    Производная сложной функции

    Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию f ( x ) = sin x и заменить переменную x , скажем, на x 2 + ln x . Получится f ( x ) = sin ( x 2 + ln x ) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.

    Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции:

    f ’( x ) = f ’( t ) · t ’, если x заменяется на t ( x ).

    Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.

    Читать еще:  Меню низким содержанием углеводов

    Задача. Найти производные функций: f ( x ) = e 2 x + 3 ; g ( x ) = sin ( x 2 + ln x )

    Заметим, что если в функции f ( x ) вместо выражения 2 x + 3 будет просто x , то получится элементарная функция f ( x ) = e x . Поэтому делаем замену: пусть 2 x + 3 = t , f ( x ) = f ( t ) = e t . Ищем производную сложной функции по формуле:

    f ’( x ) = f ’( t ) · t ’ = ( e t )’ · t ’ = e t · t ’

    А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: t = 2 x + 3. Получим:

    f ’( x ) = e t · t ’ = e 2 x + 3 · (2 x + 3)’ = e 2 x + 3 · 2 = 2 · e 2 x + 3

    Теперь разберемся с функцией g ( x ). Очевидно, надо заменить x 2 + ln x = t . Имеем:

    g ’( x ) = g ’( t ) · t ’ = (sin t )’ · t ’ = cos t · t ’

    Обратная замена: t = x 2 + ln x . Тогда:

    g ’( x ) = cos ( x 2 + ln x ) · ( x 2 + ln x )’ = cos ( x 2 + ln x ) · (2 x + 1/ x ).

    Вот и все! Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы.

    Ответ:
    f ’( x ) = 2 · e 2 x + 3 ;
    g ’( x ) = (2 x + 1/ x ) · cos ( x 2 + ln x ).

    Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.

    Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:

    ( x n )’ = n · x n − 1

    Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x 0,5 . А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.

    Задача. Найти производную функции:

    Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:

    f ( x ) = ( x 2 + 8 x − 7) 0,5 .

    Теперь делаем замену: пусть x 2 + 8 x − 7 = t . Находим производную по формуле:

    f ’( x ) = f ’( t ) · t ’ = ( t 0,5 )’ · t ’ = 0,5 · t −0,5 · t ’.

    Делаем обратную замену: t = x 2 + 8 x − 7. Имеем:

    f ’( x ) = 0,5 · ( x 2 + 8 x − 7) −0,5 · ( x 2 + 8 x − 7)’ = 0,5 · (2 x + 8) · ( x 2 + 8 x − 7) −0,5 .

    3 х 2 1 х 3 производная. Калькулятор онлайн

    Производные простых функций

    Пояснение :
    Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях — скорость его изменения всегда равна нулю.

    2. Производная переменной равна единице
    x´ = 1

    Пояснение :
    При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.

    3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
    сx´ = с
    Пример:
    (3x)´ = 3
    (2x)´ = 2
    Пояснение :
    В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х ) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с .

    Откуда следует, что
    (cx + b)» = c
    то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).

    4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
    |x|» = x / |x| при условии, что х ≠ 0
    Пояснение :
    Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x 0 — единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных — наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.

    5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
    (x c)»= cx c-1 , при условии, что x c и сx c-1 ,определены а с ≠ 0
    Пример:
    (x 2)» = 2x
    (x 3)» = 3x 2
    Для запоминания формулы :
    Снесите степень переменной «вниз» как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x 2 — двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x 3 — тройку «спускаем вниз», уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x 2 . Немного «не научно», но очень просто запомнить.

    6. Производная дроби 1/х
    (1/х)» = — 1 / x 2
    Пример:
    Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
    (1/x)» = (x -1)» , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
    (x -1)» = -1x -2 = — 1 / х 2

    7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
    (1 / x c)» = — c / x c+1
    Пример:
    (1 / x 2)» = — 2 / x 3

    8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)
    (√x)» = 1 / (2√x) или 1/2 х -1/2
    Пример:
    (√x)» = (х 1/2)» значит можно применить формулу из правила 5
    (х 1/2)» = 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х)

    9. Производная переменной под корнем произвольной степени
    (n √x)» = 1 / (n n √x n-1)

    Если следовать определению, то производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δ y к приращению аргумента Δ x :

    Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f ( x ) = x 2 + (2 x + 3) · e x · sin x . Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.

    Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.

    Производные элементарных функций

    Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.

  • Ссылка на основную публикацию
    Adblock
    detector