0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Подготовка к ЕГЭЗадачи с параметрами

Как подготовиться к решению задач с параметром на ЕГЭ | 1С:Репетитор

Советы ведущего преподавателя курса 1С:Репетитор
Татьяны Александровны Чернецкой

Задание № 18 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня

Задача с параметром – для обычного школьника одна из самых сложных задач варианта КИМ ЕГЭ: в программах по математике для общеобразовательных школ (за исключением профильных и специализированных классов, школ и лицеев) таким задачам либо не уделяется должного внимания, либо они не рассматриваются вовсе. Несмотря на это, знание набора методов и подходов к решению таких задач и определенная практика их решения позволяют продвинуться в решении задачи с параметром достаточно далеко и если уж не решить ее полностью, то хотя бы получить за нее некоторое количество баллов на экзамене.

Ранее, до появления единого государственного экзамена, задачи с параметрами входили в варианты вступительных экзаменов по математике в ведущие вузы, а сегодня входят в вариант КИМ ЕГЭ профильного уровня. Дело в том, что эти задачи обладают высокой диагностической ценностью: они позволяют не только определить, насколько хорошо выпускник знает основные разделы школьного курса математики, но и проверить, насколько высок уровень его математического и логического мышления, насколько сильны первоначальные навыки математической исследовательской деятельности, а главное – насколько успешно он сможет овладеть курсом математики в вузе.

«Научите меня решать задачи с параметром», – такую просьбу я часто слышу от своих учеников. Что ж, эта задача потребует от выпускника немало интеллектуальных усилий. С чего начать изучение? С освоения методов решения задач с параметром. Собственно, если вы внимательно читали наши рекомендации, как подготовиться к решению сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, то заметили, что это универсальный совет. Именно так построен наш курс «1С:Репетитор»: изучаем как можно более широкий спектр методов и приемов решения задач и тренируемся в применении этих методов на практике.

Чему нужно научиться, решая задачи с параметром

В первую очередь – правильно применять равносильные преобразования уравнений, неравенств и их систем. То есть понять, при каких ограничениях, накладываемых на параметр, можно выполнять то или иное преобразование. Лучше всего начать с заданий вида: «Для каждого значения параметра решить…» и рассмотреть по возможности все основные элементарные функции, встречающиеся в школьном курсе математики.

Если с несложными задачами такого вида школьник справляется неплохо, то можно переходить к изучению аналитических методов решения задач, содержательно усложняя и классифицируя задачи с точки зрения применения к ним этих методов исследования. Имеется в виду знакомство с подходами к решению задач, содержащих формулировки типа: «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно (два, три, бесконечно много и т.д.) решений», «При каких значениях параметра решением уравнения (неравенства, системы) является некоторое подмножество множества действительных чисел» и т.д.

Следующий шаг, который мы рекомендуем, – тщательно изучить схему исследования квадратичной функции. Поскольку квадратичная функция является одной из самых хорошо изученных в школьном курсе математики, на ее основе можно предложить большое количество исследовательских задач, разнообразных по форме и содержанию, чем и пользуются составители вариантов КИМ ЕГЭ.

Мы рекомендуем подойти к рассмотрению данных задач по следующей схеме:

  • задачи, основанные на свойствах дискриминанта и старшего коэффициента квадратного трехчлена;
  • применение теоремы Виета в задачах с параметром;
  • расположение корней квадратного трехчлена относительно заданных точек;
  • более сложные задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена.

    Следующая тема курса – графические методы решения задач с параметром

    Существует два принципиально различных подхода – построение графиков функций или уравнений в плоскости (x; y) или в плоскости (x; a) . Кроме того, для графического метода решения задач с параметром в плоскости (x; y) необходимо рассмотреть различные виды преобразования графиков – обычно это параллельный перенос, поворот прямой и гомотетия. Есть класс задач, решение которых основано на аналитических свойствах функций (области определения, области значений, четности, периодичности и т.д.), эти свойства и приемы их использования тоже нужно знать.

    На этом перечень методов решения задач с параметрами, разумеется, не заканчивается, но анализ вариантов КИМ ЕГЭ профильного уровня и практика показывают, что в настоящее время этого достаточно для успешного решения задачи № 18 на экзамене.

    В заключение отметим, что выстроить подобный курс самостоятельно, без преподавателя, обычный школьник не сможет, даже имея под рукой хорошие учебные пособия по методам решения задач с параметром. Здесь необходима помощь опытного наставника, который сможет подобрать нужные задачи и выстроить траекторию движения школьника по ним.

    Заметим, кстати, что весьма эффективным инструментом для изучения именно методов решения задач с параметром являются интерактивные тренажеры с пошаговым разбором решения.

    Работая с таким тренажером, школьник одновременно учится выстраивать логику решения задачи с параметром и контролирует правильность выполнения каждого шага решения. Это очень важное умение, так как одна из основных сложностей в решении задачи с параметром состоит в том, что необходимо на каждом шаге решения понимать, что означают уже полученные результаты и что (в зависимости от этих результатов) еще остается сделать, чтобы довести решение до конца.

    Регулярно тренируйтесь в решении задач

    Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.
    Вы можете:

    • Начать заниматься бесплатно.
    • Купить доступ к этой задаче в составе экспресс-курса «Алгебра» и научиться решать задачи №13, №15, №17, №18 и №19 на максимальный балл.

    Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.

    Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.

    Задания по теме «Задачи с параметром»

    Открытый банк заданий по теме задачи с параметром. Задания C6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

    Задание №1227

    Условие

    Найдите все значения a > 0, при каждом из которых система begin(x-4)^2+(|y|-4)^2=9,\ x^2+(y-4)^2=a^2end имеет ровно 2 решения.

    Решение

    Если y geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность phi _1 с центром в точке C_1 (4; 4) радиуса 3 , а если y 0 второе уравнение задаёт окружность phi с центром в точке C(0; 4) радиуса a . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a , при каждом из которых окружность phi имеет ровно две общие точки с объединением окружностей phi _1 и phi _2.

    Координаты точки касания окружностей phi и phi _1 явно видны на чертеже — точки A_1 (1; 4) и B_1 (7; 4) . То есть при a=CA_1=1 и a=CB_1=7 окружности phi и phi _1 касаются. При a > 7 и a CB_2 окружности phi и phi_2 не пересекаются. При CA_2

    Ответ

    (1;4sqrt 5-3) cup (7; 4sqrt 5+3) .

    Задание №1226

    Условие

    При каких значениях параметра a система begin 15|x-2|+8|y+3|=120,\x^2 -4a^2 +2y+5=4(x-1)-(y+2)^2 end имеет ровно 4 решения?

    Решение

    Преобразуем второе уравнение системы, выделив полные квадраты:

    Сделав замену переменных t=x-2 и omega=y+3, получим систему:

    begin15|t|+8|omega |=120,enspace (1) \ t^2 +omega^2 =(2a)^2.enspace(2) end

    При такой замене старая и новая система имеют одинаковое число решений.

    Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Otomega.

    График уравнения (1) — ромб, диагонали которого, равные 16 и 30 , лежат соответственно на осях Ot и Oomega , а графиком уравнения (2) является семейство окружностей с центром в начале координат и радиусом r=2|a|.

    Читать еще:  Легкий способ переноса изображения на дерево

    Графики уравнений системы имеют ровно 4 общие точки, и следовательно система имеет ровно 4 решения тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб, либо её радиус удовлетворяет условию: 8

    Ответ

    a in (-7,5; -4) cup left right> cup (4; 7,5) .

    Задание №1225

    Условие

    Найдите все значения a>0, при каждом из которых система begin (|x|-3)^2 +(y-3)^2=4,\ (x+3)^2 +y^2=a^2 end имеет единственное решение.

    Решение

    Если x geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность phi _1 с центром в точке C_1 (3; 3) радиуса 2 , а если x 0 второе уравнение задаёт окружность phi с центром в точке C(-3; 0) радиуса a . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a , при каждом из которых окружность phi имеет единственную общую точку с объединением окружностей phi _1 и phi _2.

    Из точки C проведём луч CC_1 и обозначим A_1 и B_1 точки его пересечения с окружностью phi _1, где A_1 лежит между C и C_1.

    Так как CC_1=sqrt <6^2 +3^2 >=sqrt <45>=3sqrt 5, то CA_1=3sqrt 5-2, CB_1=3sqrt 5+2.

    При a CB_1 окружности phi и phi _1 касаются. При CA_1

    Ответ

    Задание №1224

    Условие

    Найдите все неотрицательные значения a , при каждом из которых система уравнений begin sqrt <(x-3)^2 +y^2 >+sqrt =sqrt , \ y=|2-a^2 | end имеет единственное решение.

    Решение

    Рассмотрим первое уравнение системы. Выражение AB=sqrt <(x-3)^2 +y^2 >определяет расстояние между точками A(x; y) и B(3; 0) . Аналогично выражение AC=sqrt определяет расстояние между точками A(x; y) и C(0; a) , а выражение BC=sqrt определяет расстояние между точками B(3;0) и C(0; a) .

    По неравенству треугольника AB+AC geqslant BC, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда точка A принадлежит отрезку BC . Это значит, что для координат точки A(x; y) справедливы неравенства: 0 leqslant x leqslant 3, 0 leqslant y leqslant a.

    Тогда из второго уравнения системы имеем:

    0leqslant |2-a^2 |leqslant a, |2-a^2 |leqslant a, -aleqslant 2-a^2 leqslant a, begin 2-a^2 geqslant -a,\2-a^2 leqslant a, end enspace begin a^2 -a-2leqslant 0,\a^2+a-2geqslant 0, end enspace begin -1leqslant aleqslant 2,\aleqslant -2, ageqslant 1, end enspace ain [1;2] .

    Итак, первое уравнение системы определяет на плоскости xOy отрезок с концами в точках B и C , не параллельный оси Ox ; второе уравнение системы определяет прямую, параллельную оси Ox . При a in [1; 2] они имеют одну точку пересечения, то есть исходная система уравнений имеет единственное решение.

    Ответ

    Задание №1223

    Условие

    При каких значениях параметра a система begin x-sqrt 3|y|=0,\ (x-2a)^2+(y-cos pi a)^2 leqslant (5a-21)^2 end имеет ровно два решения?

    Решение

    Решим задачу графически. Если |5-2a|=0, то неравенство системы задаёт круг с центром в точке (2a; cos pi a) и радиусом |5a-21|. Если |5a-21|=0, то решением

    неравенства будет единственная точка: x=2a=frac<42>5 , y=cos pi a=cos frac<21pi >5 , а тогда у системы не может быть более одного решения.

    Уравнение системы задаёт угол, биссектрисой которого является ось Ox . Сторона этого угла проходит через точки (0; 0) и left(1; frac1right), и поэтому образует угол 30^ с положительным направлением оси Ox .

    Ровно два решения будет, если круг касается обеих сторон угла. Тогда центр круга должен лежать на биссектрисе угла, то есть на луче Ox . Следовательно, ордината центра круга должна равняться нулю, а абсцисса быть больше нуля. Ордината равна нулю, если cos pi a=0, pi a=frac pi 2+pi k, k in mathbb Z, a=frac12+k, k ∈ Z .

    Абсцисса центра круга равна 2 a и равна 2k+1, она больше нуля, если k geqslant 0. Рассмотрим triangle O_1OM , где O_1 — центр круга, M — одна из точек касания. Тогда O_1M=|5a-21|, OO_1=2a, angle O_1MO =90^, angle MOO_1 =30^. Тогда O_1M= O_1Ocdot sin angle O_1OM= 2asin 30^= a. Значит, a=|5a-21|, k+frac12= left|5k+frac52 -21right|, k+frac12=left|5k-frac<37>2 right|; отсюда либо k+frac12 =5k-frac<37> <2,>то есть 4k=19,, k=frac<19>4 ; либо k+frac12 =frac<37>2-5k,, 6k=18, k=3. k — целое число, frac<19>4 notin Z. 3in mathbb Z и 3geqslant 0. Таким образом, k=3, a=frac12+k=3,5.

    Ответ

    Задание №1222

    Условие

    Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение frac2=sqrt <4x^2+ax+1>имеет ровно три различных корня.

    Решение

    Уравнение frac2=sqrt <4x^2+ax+1>при frac2 0. Числа x_2=-a+2sqrt 3 и x_3=-a-2sqrt 3 будут корнями исходного уравнения, если выполняются условия:

    begin g(x_2)geqslant 0,\g(x_3)geqslant 0; endenspace begin (-a+2sqrt 3)^2+a(-a+2sqrt 3)+2geqslant 0,\( -a-2sqrt 3)^2+a(-a-2sqrt 3)+2geqslant 0; end

    begin -2asqrt 3+14geqslant 0,\2asqrt 3+14geqslant 0; endenspace begin aleqslant frac7 ,\ageqslant -frac7. end

    Таким образом, ainleft[-frac7;-2sqrt3right),cup (-2sqrt 3;2sqrt3),,,cup left( 2sqrt3;frac7right].

    Ответ

    left[-frac7;-2sqrt3right),cup (-2sqrt3;2sqrt3),,,cup left(2sqrt3;frac7right].

    Задание №1221

    Условие

    Найдите все значения a , при каждом из которых система уравнений begin frac>=0, \ y=ax end имеет ровно два различных решения.

    Решение

    Решим задачу графически. Построим графики первого и второго уравнения и определим, сколько точек пересечения они имеют при различных значениях параметра.

    Первое уравнение frac>=0 параметра не содержит и представляет собой равенство дроби нулю. Это выполняется, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, при этом оба выражения имеют смысл.

    Запишем уравнение в виде frac<(y-5)(xy-5)>>=0, разложив числитель на множители. При x leqslant -5 левая часть не имеет смысла. При x>-5 уравнение задаёт прямую y=5 и гиперболу y=frac5x.

    Найдём координаты точек A , B и C . B — точка пересечения прямой y=5 и гиперболы y=frac5x , чтобы найти её координаты, нужно решить систему уравнений begin y=5,\y=frac5x. end

    У точек A и C абсцисса равна -5, ординаты находим из уравнений прямой и гиперболы. A(-5;5) и C(-5;-1).

    При каждом значении a уравнение y=ax задаёт прямую с угловым коэффициентом a , проходящую через начало координат. Чтобы найти значение a , при котором такая прямая проходит через точку с указанными координатами, нужно подставить координаты в уравнение прямой.

    Например, для точки A(-5; 5) получаем x=-5, y=5, 5=acdot (-5), a=-1.

    Аналогично для B(1;5),, a=5 и для C(-5;-1), a=frac15.

    При x>-5 прямая y=ax пересекает прямую y=5 при a 0, пересекает правую ветвь гиперболы y=frac5x при a>0, пересекает левую ветвь гиперболы y=frac5x при a>frac15. При этом прямая y=ax проходит через точку пересечения прямой y=5 и гиперболы y=frac5x при a=5.

    Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой y=5 и гиперболы y=frac5x с прямой y=ax при условии x>-5.

    Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 0

    Что такое параметр? Простые задачи с параметрами

    Одна из сложных задач Профильного ЕГЭ по математике — задача с параметрами. В ЕГЭ 2020 года это №18. И даже в вариантах ОГЭ они есть. Что же означает это слово — параметр?

    Толковый словарь (в который полезно время от времени заглядывать) дает ответ: «Параметр — это величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы, явления или процесса».

    Хорошо, параметр — это какая-либо характеристика, свойство системы или процесса.

    Вот, например, ракета выводит космический аппарат в околоземное пространство. Как вы думаете — какие параметры влияют на его полет?

    Если корабль запустить с первой космической скоростью, приближенно равной 7,9 км/с, он выйдет на круговую орбиту.

    Вторая космическая скорость, приближенно равная 11,2 км/с, позволяет космическому кораблю преодолеть поле тяжести Земли. Третья космическая скорость, приближенно равная 16,7 км/с, дает возможность преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца и покинуть пределы Солнечной системы.

    Читать еще:  Как самому сделать красивую беседку

    А если скорость меньше первой космической? Значит, тонны металла, топлива и дорогостоящей аппаратуры рухнут на землю, сопровождаемые репликой растерянного комментатора: «Кажется, что-то пошло не так».

    Скорость космического корабля можно — параметр, от которого зависит его дальнейшая траектория и судьба. Конечно, это не единственный параметр. В реальных задачах науки и техники, задействованы уравнения, включающие функции многих переменных и параметров, а также производные этих функций.

    1. Теперь пример из школьной математики.

    Все мы помним, что такое квадратное уравнение. Это уравнение вида , где коэффициент а не равен нулю.

    Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

    Дискриминант квадратного уравнения:

    Если , квадратное уравнение имеет два корня: и

    Если , квадратное уравнение имеет единственный корень

    Если , квадратное уравнение не имеет действительных корней. Рассмотрим уравнение . Его дискриминант равен Если , то есть , это квадратное уравнение имеет два корня.

    Если при , уравнение имеет единственный корень.

    Если , то есть с > 1, корней нет.

    В нашем уравнении с — параметр, величина, которая принимать любые значения. Но от этого параметра с зависит количество корней данного уравнения.

    Для того чтобы уверенно решать задачи с параметрами, необходимо отличное знание и алгебры, и планиметрии.

    И еще две простые задачи с параметром.

    2. Найдите значение параметра p, при котором уравнение имеет 2 различных корня.

    Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда .

    Найдем дискриминант уравнения

    Т.к. , получим:

    Вспомним, как решаются квадратичные неравенства (вы проходили это в 9 классе).

    Найдем корни квадратного уравнения . Это и

    Разложим левую часть неравенства на множители:

    Рисуем параболу с ветвями вверх. Она пересекает ось р в точках и

    3. При каких значениях параметра k система уравнений не имеет решений?

    Оба уравнения системы — линейные. График линейного уравнения — прямая. Запишем уравнения системы в привычном для нас виде, выразив у через х:

    Первое уравнение задает прямую с угловым коэффициентом . Второе уравнение — прямую с угловым коэффициентом -2.

    Система уравнений не имеет решений, если эти прямые не пересекаются, то есть параллельны. Это значит, что и .

    Действительно, в этом случае первое уравнение задает прямую , а второе — параллельную ей прямую

    Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ, Высоцкий, 2011

    Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ, Высоцкий В.С., 2011.

    Книга посвящена решению задач с параметрами, которые для многих школьников традиционно являются задачами повышенной трудности. Задачи классифицированы как по типам, так и по методам решений, начиная от простейших задач до трудных, встречающихся на олимпиадах, ЕГЭ и вступительных экзаменах в МГУ.
    Для учащихся 8-11 классов, учителей школ, гимназий, лицеев, слушателей подготовительных курсов.

    ЧТО ТАКОЕ ПАРАМЕТР.
    Как это ни покажется странным, задачи с параметрами мы решаем чуть ли не ежедневно, при этом в большинстве своем не зная, что такое параметр. Например, придя в магазин покупать какой-либо товар, мы смотрим на его цену. Если цена будет очень высокой, мы не купим его. Если цена будет вполне приемлемой, мы принимаем решение купить товар. Но если цена товара резко уменьшилась (например, в результате распродажи), мы можем купить несколько единиц этого товара. Таким образом, если рассматривать цену товара как параметр, то от значений этого параметра будет зависеть, купим или не купим мы этот товар, а если и купим, то сколько единиц.

    Та же самая картина имеет место и в математике при решении уравнений. При одних значениях коэффициентов уравнение может вообще не иметь решений, при других — одно решение, при третьих — бесконечно много решений. Например, в школьном курсе алгебры мы часто встречались с ситуацией, когда квадратное уравнение в зависимости от значений коэффициентов имело два решения, одно решение или не имело решений вовсе.

    ОГЛАВЛЕНИЕ
    ВВЕДЕНИЕ 5
    ГЛАВА 1 ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ 7
    § 1. Что такое параметр 7
    § 2. Различные формулировки задач с параметрами 8
    Задачи для самостоятельного решения 10
    ГЛАВА 2 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 13
    § 1. Линейные уравнения 13
    § 2. Линейные неравенства 18
    Задачи для самостоятельного решения 22
    ГЛАВА 3 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 25
    Задачи для самостоятельного решения 50
    ГЛАВА 4 КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 53
    Задачи для самостоятельного решения 72
    ГЛАВА 5 ЗАДАЧИ, СВОДЯЩИЕСЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА 75
    § 1. Уравнения и неравенства 75
    § 2. Дополнительный материал по алгебре 91
    § 3. Продолжение исследования уравнений и неравенств 96
    Задачи для самостоятельного решения 102
    ГЛАВА 6 ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ. МЕТОД СЕЧЕНИЙ 107
    § 1. Угол наклона прямой 107
    § 2. Уравнение прямой 108
    § 3. Геометрический смысл параметров прямой 108
    § 4. Графики линейных функций 108
    § 5. Вспомогательные задачи 111
    § 6. Параллельность и перпендикулярность прямых 113
    § 7. Графическое решение уравнений и неравенств 117
    § 8. Сечение семейством прямых у-а 119
    § 9. Сечение семейством прямых у = х + а 123
    § 10. Сечение семейством прямых у-ах 129
    § 11. Касание параболы и прямой 133
    Задачи для самостоятельного решения 152
    ГЛАВА 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 155
    § 1. Вводные замечания 155
    § 2. Исследование линейных систем методом подстановки 157
    § 3. Соотношения между коэффициентами системы в зависимости от числа решений 172
    § 4. Геометрическая интерпретация решений 175
    Задачи для самостоятельного решения 176
    ГЛАВА 8 СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 179
    § 1. Методы решения 179
    Задачи для самостоятельного решения 190
    § 2. Аналитические методы исследования нелинейных систем с параметрами 191
    Задачи для самостоятельного решения 206
    § 3. Графические методы исследования нелинейных систем с параметрами 208
    Задачи для самостоятельного решения 232
    ГЛАВА 9 ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ НА ЕДИНОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ ЭКЗАМЕНЕ 235
    Задачи для самостоятельного решения 271
    ОТВЕТЫ 275
    Глава 1 275
    Глава 2 275
    Глава 3 277
    Глава 4 279
    Глава 5 283
    Глава 6 288
    Глава 7 296
    Глава 8 298
    Глава 9 306
    ЛИТЕРАТУРА 313.

    Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
    Скачать книгу Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ, Высоцкий, 2011 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

    Скачать pdf
    Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

    Урок по теме «Методы решения задач с параметрами»

    Разделы: Математика

    Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.

    Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.

    Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

    1. Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определенному множеству.
    2. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
    3. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.
    4. Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
    Читать еще:  Весенняя подкормка плодовых кустарников и деревьев

    Методы решений задач с параметрами.

    1. Аналитический метод.

    Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

    Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:

    (2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.

    При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.

    Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.

    Если a ≠ 1/2 , то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

    Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

    2. Графический метод.

    В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a).

    Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .

    Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.

    График функции показан на рис.1.

    y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

    Ответ: при a 25/4 – два решения.

    3. Метод решения относительно параметра.

    При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

    Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение = —ax +3a +2 имеет единственное решение.

    Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t , t ≥ 0 , тогда x = t 2 + 8 и уравнение примет вид at 2 + t + 5a – 2 = 0 . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение at 2 + t + 5a – 2 = 0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.

    1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.

    Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

    Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.

    Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.

    Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?

    Ⅱ . Степенные уравнения, неравенства и их системы.

    Задача №2. Найти все значения параметра a, при которых множество решений неравенства:

    содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

    .

    Преобразуем обе части неравенства.

    Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия:

    Рис.4

    При a > 6 множество решений неравенства: .

    Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a).

    Это

    Ⅲ . Показательные уравнения, неравенства и системы.

    Задача № 3. В области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

    1) Графиком дробно-линейной функции является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

    2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства . При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.

    3) При 0 0 , то z(x) > z(0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства . Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.

    4) При a > 1 показательная функция с основанием а возрастает и неравенство равносильно неравенству . Если a ≥ 5 , то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 7.05.2013

    Задачи с параметром

    1. Задача.
    При каких значениях параметра a уравнение (a — 1)x 2 + 2x + a — 1 = 0 имеет ровно один корень?

    1. Решение.
    При a = 1 уравнение имеет вид 2x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a № 1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a 4a 2 — 8a = 0, откуда a = 0 или a = 2.

    1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О <0; 1; 2>.

    2. Задача.
    Найти все значения параметра a, при которых имеет два различных корня уравнение x 2 +4ax+8a+3 = 0.
    2. Решение.
    Уравнение x 2 +4ax+8a+3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16a 2 -4(8a+3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4a 2 -8a-3 > 0, откуда

    3. Задача.
    Известно, что
    f2(x) = 6xx 2 -6.
    а) Постройте график функции f1(x) при a = 1.
    б) При каком значении a графики функций f1(x) и f2(x) имеют единственную общую точку?

    3. Решение.
    3.а. Преобразуем f1(x) следующим образом
    График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа.
    3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx+b и y = ax 2 +bx+c (a № 0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx+b = ax 2 +bx+c имеет единственный корень. Используя представление f1 из 3.а, приравняем дискриминант уравнения a = 6xx 2 -6 к нулю. Из уравнения 36-24-4a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2xa = 6xx 2 -6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a = 3.

    4. Задача.
    Найти все значения a, при которых множество решений неравенства x 2 -2ax-3a і 0 содержит отрезок [3;6].

    4. Решение.
    Первая координата вершины параболы f(x) = x 2 -2ax-3a равна x = a. Из свойств квадратичной функции условие f(x) і 0 на отрезке [3;6] равносильно совокупности трех систем

    Решением первой системы является множество (- Ґ ,1]. Вторая и третья система решений не имеют.

    5. Задача (9 кл.)
    При каком наименьшем натуральном значении a уравнение

    имеет ровно два решения?

    5. Решение.
    Перепишем это уравнение в виде x 2 + (2a-2)x — 3a+7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a 2 +a-6 > 0. Решая неравенство, находим a 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3.

    6. Задача (10 кл.)
    Найти все значения a, при которых график функции

    проходит через точку с координатами (-1;1).

    6. Решение.
    Из условия f(-1) = 1 имеем уравнение

    или, после очевидных преобразований, a-2 = | 2-a | . Последнее уравнение равносильно неравенству a і 2.

    7. Задача (10 кл.)
    При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения

    7. Решение.
    Дискриминант уравнения x 2 -2ax+a 2 —a = 0 равен 4a. Поэтому действительные корни этого уравнения существуют, если a і 0. Применяя к данному уравнению теорему Виета получаем x1+x2 = 2a и x1·x2 = a 2 —a. Отсюда x1 2 +x2 2 = (x1+x2) 2 -2x1·x2 = 2a 2 +2a. Решениями неравенства 2a 2 +2a > 12, удовлетворяющими условию a і 0, являются числа a > 2.

  • Ссылка на основную публикацию
    Adblock
    detector