3 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

методы решения задач с параметрами

Урок по теме «Методы решения задач с параметрами»

Разделы: Математика

Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.

Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.

Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

  1. Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определенному множеству.
  2. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
  3. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.
  4. Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Методы решений задач с параметрами.

1. Аналитический метод.

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.

При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.

Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.

Если a ≠ 1/2 , то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

2. Графический метод.

В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a).

Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .

Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.

График функции показан на рис.1.

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

Ответ: при a 25/4 – два решения.

3. Метод решения относительно параметра.

При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение = —ax +3a +2 имеет единственное решение.

Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t , t ≥ 0 , тогда x = t 2 + 8 и уравнение примет вид at 2 + t + 5a – 2 = 0 . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение at 2 + t + 5a – 2 = 0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.

1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.

Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.

Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.

Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?

Ⅱ . Степенные уравнения, неравенства и их системы.

Задача №2. Найти все значения параметра a, при которых множество решений неравенства:

содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

.

Преобразуем обе части неравенства.

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия:

Рис.4

При a > 6 множество решений неравенства: .

Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a).

Это

Ⅲ . Показательные уравнения, неравенства и системы.

Задача № 3. В области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

1) Графиком дробно-линейной функции является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства . При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.

3) При 0 0 , то z(x) > z(0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства . Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.

4) При a > 1 показательная функция с основанием а возрастает и неравенство равносильно неравенству . Если a ≥ 5 , то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 7.05.2013

IV. Каковы основные способы (методы) решения задач с параметром?

III. Какие основные типы задач с параметрами?

II. Что означает «решить задачу с параметром»?

Это зависит от вопроса в задаче.

Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Способ Iаналитический.Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Комментарий. По мнению авторов, аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ IIграфический. В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

Способ IIIрешение относительно параметра. При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Перейдем теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром.

Задача 1. Для всех действительных значений параметра a решите уравнение

x 3 –(2–a)x 2 –ax–a(a–2)=0.

1) Исходное кубическое по x уравнение является квадратным относительно a. Поэтому, считая переменную x параметром, перепишем это уравнение в виде стандартного квадратного уравнения относительно a, опуская промежуточные шаги по раскрытию скобок и перегруппировке: a 2 –(x 2 –x+2)a – x 3 + 2x 2 = 0.

2) Поскольку x 2 –x+2=x 2 +(2–x) и –x 3 +2x 2 =x 2 (2–x), то по обратной теореме Виета

3) Поэтому исходное уравнение равносильно совокупности уравнений a=x 2 и a=2–x.

Первое уравнение преобразуется к виду x 2 =a, откуда

(1): при a 0 два решения

(3):

Второе уравнение совокупности имеет единственное решение (5): x=2a для любого значения параметра a.

4) Изображаем ось параметра a и отмечаем на ней граничные значения параметра, которые фигурируют в ответах к каждому уравнению совокупности. Все найденные решения уравнений для тех значений параметра a, при которых хотя бы одно решение существует, выписываем в таблице слева (последовательно сверху вниз). Сплошной линией, параллельной оси параметра, указываем те промежутки значений параметра, при которых полученное решение существует. Заметим, что концы промежутков изображаются «светлыми» точками в случае, когда соответствующее решение не существует, а «темными» точками — в противном случае.

Данная развертка позволяет легко найти все решения исходного уравнения для любого действительного значения параметра: x=2–a при a 0.

5) Формирование ответа. Например, при a = 1 равенства и x = 2 – a определяют одно и то же значение переменной x=1, а при a=4 равенства и x=2a аналогично определяют одно значение x=–2.

Полученные равенства (2)–(5) могут при некоторых значениях параметра a определять одно и то же значение переменной x. Найдем указанные значения параметра. Поскольку значения – различны для всех a>0, осталось выяснить, при каких значениях a выполняются равенства Пусть тогда первое уравнение приводится к виду t 2 +t–2=0, откуда t=1 и t=–2 (не подходит, так как при a > 0), т. е.. Аналогично решая второе уравнение, находим a=4.

Читать еще:  Что нужно для расчета пожарного риска

Полученный результат в таблице 2 проиллюстрирован следующим образом: линии равенства (4) и (5) «сливаются» при a=1, линии (3) и (5) «сливаются» при a=4.

Используя таблицу 2, легко сформулировать окончательный ответ задачи.

Ответ: x=2–a при a 2 )(a+x–2)=0.

1) Исходное уравнение равносильно совокупности a–x 2 =0 или a+x–2=0.

2) Поэтому построение искомого множества точек — графика уравнения — сводится к построению графиков a=x 2 и a=2–x (рис. 1).

188.64.169.166 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Как подготовиться к решению задач с параметром на ЕГЭ | 1С:Репетитор

Советы ведущего преподавателя курса 1С:Репетитор
Татьяны Александровны Чернецкой

Задание № 18 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня

Задача с параметром – для обычного школьника одна из самых сложных задач варианта КИМ ЕГЭ: в программах по математике для общеобразовательных школ (за исключением профильных и специализированных классов, школ и лицеев) таким задачам либо не уделяется должного внимания, либо они не рассматриваются вовсе. Несмотря на это, знание набора методов и подходов к решению таких задач и определенная практика их решения позволяют продвинуться в решении задачи с параметром достаточно далеко и если уж не решить ее полностью, то хотя бы получить за нее некоторое количество баллов на экзамене.

Ранее, до появления единого государственного экзамена, задачи с параметрами входили в варианты вступительных экзаменов по математике в ведущие вузы, а сегодня входят в вариант КИМ ЕГЭ профильного уровня. Дело в том, что эти задачи обладают высокой диагностической ценностью: они позволяют не только определить, насколько хорошо выпускник знает основные разделы школьного курса математики, но и проверить, насколько высок уровень его математического и логического мышления, насколько сильны первоначальные навыки математической исследовательской деятельности, а главное – насколько успешно он сможет овладеть курсом математики в вузе.

«Научите меня решать задачи с параметром», – такую просьбу я часто слышу от своих учеников. Что ж, эта задача потребует от выпускника немало интеллектуальных усилий. С чего начать изучение? С освоения методов решения задач с параметром. Собственно, если вы внимательно читали наши рекомендации, как подготовиться к решению сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, то заметили, что это универсальный совет. Именно так построен наш курс «1С:Репетитор»: изучаем как можно более широкий спектр методов и приемов решения задач и тренируемся в применении этих методов на практике.

Чему нужно научиться, решая задачи с параметром

В первую очередь – правильно применять равносильные преобразования уравнений, неравенств и их систем. То есть понять, при каких ограничениях, накладываемых на параметр, можно выполнять то или иное преобразование. Лучше всего начать с заданий вида: «Для каждого значения параметра решить…» и рассмотреть по возможности все основные элементарные функции, встречающиеся в школьном курсе математики.

Если с несложными задачами такого вида школьник справляется неплохо, то можно переходить к изучению аналитических методов решения задач, содержательно усложняя и классифицируя задачи с точки зрения применения к ним этих методов исследования. Имеется в виду знакомство с подходами к решению задач, содержащих формулировки типа: «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно (два, три, бесконечно много и т.д.) решений», «При каких значениях параметра решением уравнения (неравенства, системы) является некоторое подмножество множества действительных чисел» и т.д.

Следующий шаг, который мы рекомендуем, – тщательно изучить схему исследования квадратичной функции. Поскольку квадратичная функция является одной из самых хорошо изученных в школьном курсе математики, на ее основе можно предложить большое количество исследовательских задач, разнообразных по форме и содержанию, чем и пользуются составители вариантов КИМ ЕГЭ.

Мы рекомендуем подойти к рассмотрению данных задач по следующей схеме:

  • задачи, основанные на свойствах дискриминанта и старшего коэффициента квадратного трехчлена;
  • применение теоремы Виета в задачах с параметром;
  • расположение корней квадратного трехчлена относительно заданных точек;
  • более сложные задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена.

    Следующая тема курса – графические методы решения задач с параметром

    Существует два принципиально различных подхода – построение графиков функций или уравнений в плоскости (x; y) или в плоскости (x; a) . Кроме того, для графического метода решения задач с параметром в плоскости (x; y) необходимо рассмотреть различные виды преобразования графиков – обычно это параллельный перенос, поворот прямой и гомотетия. Есть класс задач, решение которых основано на аналитических свойствах функций (области определения, области значений, четности, периодичности и т.д.), эти свойства и приемы их использования тоже нужно знать.

    На этом перечень методов решения задач с параметрами, разумеется, не заканчивается, но анализ вариантов КИМ ЕГЭ профильного уровня и практика показывают, что в настоящее время этого достаточно для успешного решения задачи № 18 на экзамене.

    В заключение отметим, что выстроить подобный курс самостоятельно, без преподавателя, обычный школьник не сможет, даже имея под рукой хорошие учебные пособия по методам решения задач с параметром. Здесь необходима помощь опытного наставника, который сможет подобрать нужные задачи и выстроить траекторию движения школьника по ним.

    Заметим, кстати, что весьма эффективным инструментом для изучения именно методов решения задач с параметром являются интерактивные тренажеры с пошаговым разбором решения.

    Работая с таким тренажером, школьник одновременно учится выстраивать логику решения задачи с параметром и контролирует правильность выполнения каждого шага решения. Это очень важное умение, так как одна из основных сложностей в решении задачи с параметром состоит в том, что необходимо на каждом шаге решения понимать, что означают уже полученные результаты и что (в зависимости от этих результатов) еще остается сделать, чтобы довести решение до конца.

    Регулярно тренируйтесь в решении задач

    Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.
    Вы можете:

    • Начать заниматься бесплатно.
    • Купить доступ к этой задаче в составе экспресс-курса «Алгебра» и научиться решать задачи №13, №15, №17, №18 и №19 на максимальный балл.

    Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.

    Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.

    Как подготовиться к решению задач с параметром на ЕГЭ | 1С:Репетитор

    Советы ведущего преподавателя курса 1С:Репетитор
    Татьяны Александровны Чернецкой

    Задание № 18 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня

    Задача с параметром – для обычного школьника одна из самых сложных задач варианта КИМ ЕГЭ: в программах по математике для общеобразовательных школ (за исключением профильных и специализированных классов, школ и лицеев) таким задачам либо не уделяется должного внимания, либо они не рассматриваются вовсе. Несмотря на это, знание набора методов и подходов к решению таких задач и определенная практика их решения позволяют продвинуться в решении задачи с параметром достаточно далеко и если уж не решить ее полностью, то хотя бы получить за нее некоторое количество баллов на экзамене.

    Ранее, до появления единого государственного экзамена, задачи с параметрами входили в варианты вступительных экзаменов по математике в ведущие вузы, а сегодня входят в вариант КИМ ЕГЭ профильного уровня. Дело в том, что эти задачи обладают высокой диагностической ценностью: они позволяют не только определить, насколько хорошо выпускник знает основные разделы школьного курса математики, но и проверить, насколько высок уровень его математического и логического мышления, насколько сильны первоначальные навыки математической исследовательской деятельности, а главное – насколько успешно он сможет овладеть курсом математики в вузе.

    «Научите меня решать задачи с параметром», – такую просьбу я часто слышу от своих учеников. Что ж, эта задача потребует от выпускника немало интеллектуальных усилий. С чего начать изучение? С освоения методов решения задач с параметром. Собственно, если вы внимательно читали наши рекомендации, как подготовиться к решению сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, то заметили, что это универсальный совет. Именно так построен наш курс «1С:Репетитор»: изучаем как можно более широкий спектр методов и приемов решения задач и тренируемся в применении этих методов на практике.

    Чему нужно научиться, решая задачи с параметром

    В первую очередь – правильно применять равносильные преобразования уравнений, неравенств и их систем. То есть понять, при каких ограничениях, накладываемых на параметр, можно выполнять то или иное преобразование. Лучше всего начать с заданий вида: «Для каждого значения параметра решить…» и рассмотреть по возможности все основные элементарные функции, встречающиеся в школьном курсе математики.

    Если с несложными задачами такого вида школьник справляется неплохо, то можно переходить к изучению аналитических методов решения задач, содержательно усложняя и классифицируя задачи с точки зрения применения к ним этих методов исследования. Имеется в виду знакомство с подходами к решению задач, содержащих формулировки типа: «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно (два, три, бесконечно много и т.д.) решений», «При каких значениях параметра решением уравнения (неравенства, системы) является некоторое подмножество множества действительных чисел» и т.д.

    Читать еще:  Как сделать эстакаду для автомобиля на даче

    Следующий шаг, который мы рекомендуем, – тщательно изучить схему исследования квадратичной функции. Поскольку квадратичная функция является одной из самых хорошо изученных в школьном курсе математики, на ее основе можно предложить большое количество исследовательских задач, разнообразных по форме и содержанию, чем и пользуются составители вариантов КИМ ЕГЭ.

    Мы рекомендуем подойти к рассмотрению данных задач по следующей схеме:

  • задачи, основанные на свойствах дискриминанта и старшего коэффициента квадратного трехчлена;
  • применение теоремы Виета в задачах с параметром;
  • расположение корней квадратного трехчлена относительно заданных точек;
  • более сложные задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена.

    Следующая тема курса – графические методы решения задач с параметром

    Существует два принципиально различных подхода – построение графиков функций или уравнений в плоскости (x; y) или в плоскости (x; a) . Кроме того, для графического метода решения задач с параметром в плоскости (x; y) необходимо рассмотреть различные виды преобразования графиков – обычно это параллельный перенос, поворот прямой и гомотетия. Есть класс задач, решение которых основано на аналитических свойствах функций (области определения, области значений, четности, периодичности и т.д.), эти свойства и приемы их использования тоже нужно знать.

    На этом перечень методов решения задач с параметрами, разумеется, не заканчивается, но анализ вариантов КИМ ЕГЭ профильного уровня и практика показывают, что в настоящее время этого достаточно для успешного решения задачи № 18 на экзамене.

    В заключение отметим, что выстроить подобный курс самостоятельно, без преподавателя, обычный школьник не сможет, даже имея под рукой хорошие учебные пособия по методам решения задач с параметром. Здесь необходима помощь опытного наставника, который сможет подобрать нужные задачи и выстроить траекторию движения школьника по ним.

    Заметим, кстати, что весьма эффективным инструментом для изучения именно методов решения задач с параметром являются интерактивные тренажеры с пошаговым разбором решения.

    Работая с таким тренажером, школьник одновременно учится выстраивать логику решения задачи с параметром и контролирует правильность выполнения каждого шага решения. Это очень важное умение, так как одна из основных сложностей в решении задачи с параметром состоит в том, что необходимо на каждом шаге решения понимать, что означают уже полученные результаты и что (в зависимости от этих результатов) еще остается сделать, чтобы довести решение до конца.

    Регулярно тренируйтесь в решении задач

    Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.
    Вы можете:

    • Начать заниматься бесплатно.
    • Купить доступ к этой задаче в составе экспресс-курса «Алгебра» и научиться решать задачи №13, №15, №17, №18 и №19 на максимальный балл.

    Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.

    Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.

    X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум — 2018

    ПРИЁМЫ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ

    Что означает «решить задачу с параметром»?

    Как начинать решать такие задачи? И что означает «решить параметрическую задачу»? Прежде всего, надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства: привести заданное уравнение (неравенство) к более простому виду, например, разложить рациональное выражение на множители, разложить тригонометрический многочлен на множители, избавиться от модулей, логарифмов, и т.д. Решая такие задания нужно множество раз обращаться к его текстовой части с целью выполнения сформулированного там условия.

    Проще говоря, решить задачу с параметром – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

    Каковы основные типы задач с параметрами?

    1. Уравнения (неравенства), которые надо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

    Например: При каких значениях параметра уравнение имеет единственный корень?

    2. Уравнения (неравенства), для которых необходимо определить количество решений в зависимости от значения параметра.

    Например: При каких уравнение имеет ровно три корня?

    3. Уравнения (неравенства), для которых требуется найти все значения параметра, при которых указанные уравнения (неравенства) имеют заданное число решений ( или не имеют решений, или имеют бесконечно много решений).

    Например: Найдите все значения параметра а при каждом из которых уравнение -13а+5 имеетровно два корня.

    4. Уравнения (неравенства), для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

    Например: При каких значениях уравнение имеет ровно одно решение на промежутке

    Каковы основные способы (методы) решения задач с параметром?

    Способ I (аналитический). Это способ применения стандартных операций при решении уравнений (неравенств) без параметра, он же, на мой взгляд, и самый трудный. При решении заданий аналитическим способом требуется знать большой объем математической информации и уметь грамотно это применять.

    Привем решение задания с параметром, которое решается аналитическим способом:

    Найдите все значенияа, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один корень.

    Рассмотрим функции и

    1.Пусть , тогда (раскрываем модуль со знаком минус) , . Получаем, что угловой коэффициент функции равен 4 либо 12, (так как может быть одинаковый знак в зависимости от числа х.) При таких значениях график функции возрастает (так как коэффициент больше 0)

    2.Пусть , тогда , Получаем, что угловой коэффициент функции равен -4 либо -12. При таких значениях график функции убывает (так как коэффициент меньше 0)

    3.При х=0, тогда Получаем, что = Функция возрастает при и убывает при , поэтому =

    Исходное уравнение имеет один корень, когда

    откуда , либо , где а=-5.

    Ответ: -5,

    Способ II (графический). Наиболее понятный и очень наглядный способ решения. Суть его заключается в том, что в зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a). Естественно, что для этого просто необходимо знать типы элементарных функций (степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические), их свойства и графики (кстати, в ВУЗах эта тема в курсе высшей математики изучается одной из первых) Использование графического способа даже схематически помогает найти решение задачи. Решая задания графическим способом, я сделала следующее наблюдение: если в правой и левой части уравнения (неравенства) находятся функции разных типов, то можно смело утверждать, что решение аналитическим способом такой задачи бессмысленно, не нужно тратить на него время, а лучше сразу же создать графическую иллюстрацию задания. Наглядно и быстро!

    Приведу пример задания 18 ЕГЭ, которое очень легко решается этим способом:

    Найдите все значенияа, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

    Запишем уравнение в виде и рассмотрим две функции и .

    Рассмотрим функцию , преобразовывая подкоренное выражение, получим:

    . Таким образом, получаем.функцию, графиком которой является полуокружность с радиусом 2 в центре с точкой (-1;0), лежащей в верхней полуплоскости.

    Графиком функции является прямая с угловым коэффициентом -а, проходящая через точку М (4;2)

    Уравнение имеет единственный корень, если графики функций имеют одну общую точку (т.е. прямая касается или пересекает полуокружность в единственной точке).

    Рассмотрим рисунок: 1. Прямая МС является касательной к полуокружности, следовательно, МС и полуокружность пересекаются в единственной точке. Так как МС параллельна оси ОХ ( У точки М (4,2) и С(-1,2)), то угловой коэффициент равен нулю. Таким образом, найдено первое значение а=0, при котором уравнение имеет один единственный корень.

    2. Проведем прямую через точки М(4;2) и А(-3;0) ( так как координаты известны). Прямая МА пересекает график полуокружности в двух точках, но такая ситуация не удовлетворяет условию задачи. Поэтому надо найти значения углового коэффициента, при которых вышеназванное условие не выполняется. Чтобы найти значения –а подставим координаты точек М и А в функцию.

    Получаем, -а=0 и а=.

    При условии прямые имеют с графиком две общие точки, а это не удовлетворяет условию задачи.

    3. Проведем прямую МВ через точки М(4;2) и В(1;0). Чтобы найти значения –а подставим координаты точек М и А в функцию.

    Получаем –а= и –а=. При условии прямые имеют с графиком одну общие точки и это удовлетворяет условию задачи.Ответ: а=0,

    Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После проведенных упрощений возвращаются к исходному смыслу переменных x и a и заканчивают решение.

    Ниже представлено решение параметрического задания данным способом:

    3.При всех значениях параметра а решить уравнение: |х + 3| — a|x – 1| = 4.

    Найдем значения х, при которых выражения, стоящие под знаком модуля обращаются в ноль. Получили х= -3 и х=1. Разобьем числовую прямую на 3 части полученными точками и решим 3 системы: 1) , если . Найденный будет решением, если .

    2) , если . Найденный удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением при . Если же , то решением является любой .

    В данной работе рассмотрены способы и приёмы решения задач с параметром. По нашему мнению наиболее эффективным является графический метод решения задач с параметром.

    Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами.

    Графический метод решения задач с параметрами.

    Эта тема является неотъемлемой частью изучения школьного курса алгебры. Цель данной работы более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. Этот реферат поможет понять другим ученикам применение графического метода решения уравнений с параметрами, узнать о происхождении, развитии этого метода.

    Читать еще:  Выращивание моркови по новым технологиям

    Скачать:

    Предварительный просмотр:

    Глава 1. Уравнения с параметром

    История возникновения уравнений с параметром3

    Глава 2. Виды уравнений с параметрами.

    Квадратные уравнения…………………………………………. 7

    Глава 3. Методы решения уравнений с параметром

    Графический метод. История возникновения….…………………………9

    Алгоритм решения графическим методом..……………. …………….10

    Решение уравнения с модулем……………. …………………………….11

    Я выбрала эту тему, так как она является неотъемлемой частью изучения школьного курса алгебры. Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. Мой реферат поможет понять другим ученикам применение графического метода решения уравнений с параметрами, узнать о происхождении, развитии этого метода.

    В современной жизни изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами.

    Для решения таких уравнений графический метод является весьма эффективным, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра α.

    Задачи с параметрами представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков. Они обладают диагностической ценностью, так как с помощью них можно проверить знание основных разделов математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности и перспективные возможности успешного овладения курса математики в высших учебных заведениях.

    В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов, ведь уравнения с параметрами по праву считаются одними из самых сложных задач в курсе школьной математики. Именно такие задачи и попадают в список заданий на едином государственном экзамене ЕГЭ.

    История возникновения уравнений с параметром

    Задачи на уравнения с параметром встречались уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. Индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

    В уравнении коэффициенты, кроме параметра , могут быть и отрицательными.

    Квадратные уравнения у ал-Хорезми.

    В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений с параметром а. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

    1) «Квадраты равны корням», т. е. αx 2 = bx.

    2) «Квадраты равны числу», т. е. αx 2 = c.

    3) «Корни равны числу», т. е. αx = c.

    4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. αx 2 + c = bx.

    5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. αx 2 + bx = c.

    6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bx + c = αx 2 .

    Формулы решения квадратных уравнений по ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.

    Вывод формулы решения квадратного уравнения с параметром в общем виде имеется у Виета, однако Виета признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в ХII в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принял современный вид.

    Теорема, выражающая связь между параметрами, коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. Следующим образом: «Если b + d, умноженное на α минус α 2 , равно bc, то α равно b и равно d».

    Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что α, как и всякая гласная буква, означала у него неизвестное (наше х), гласные же b, d – коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает:

    Если имеет место

    Т. е. x 2 — (α –b)x + αb =0,

    то x 1 = α, x 2 = b.

    Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виета установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

    Параметр — независимая переменная, значение которой считается фиксированным или произвольным числом, или числом, принадлежащим заданному условием задачи промежутку.

    Уравнение с параметром — математическое уравнение , внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

    Решить уравнение с параметром означает для каждого значения найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению, а также:

    1. 1. Исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.
    2. 2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.

    Рассмотрим уравнение α(х+k)= α +c, где α, c, k, x -переменные величины.

    Системой допустимых значений переменных α, c, k, x называется любая система значений переменных, при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения.

    Пусть А – множество всех допустимых значений α, K– множество всех допустимых значений k, Х – множество всех допустимых значений х, C- множество всех допустимых значений c. Если у каждого из множеств A, K, C, X выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению α, k, c, и подставить их в уравнение, то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

    Переменные α, k, c, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

    Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: α, b, c, d, …, k , l, m, n, а неизвестные – буквами x, y,z.

    Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными , если:

    а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

    б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

    Виды уравнений с параметрами

    Уравнения с параметрами бывают: линейные и квадратные.

    1)Линейное уравнение. Общий вид:

    α х = b, где х – неизвестное; α , b – параметры.

    Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

    При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

    Особым значением параметра α является значение α = 0.

    1.Если, а ≠0 , то при любой паре параметров α и b оно имеет единственное решение х = .

    2.Если, а =0,то уравнение принимает вид:0 х = b . В этом случае значение b = 0 является особым значением параметра b .

    2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.

    2.2. При b =0 уравнение примет вид:0 х =0.

    Решением данного уравнения является любое действительное число.

    Квадратное уравнение с параметром.

    α x 2 + bx + c = 0

    где параметр α ≠0, b и с — произвольные числа

    Если α =1, то уравнение называется приведённым квадратным уравнением.

    Корни квадратного уравнения находятся по формулам

    Выражение D = b 2 – 4 α c называют дискриминантом.

    1. Если D> 0 — уравнение имеет два различных корня.

    2. Если D 0, то х = а , х = — а, если а = 0, то х =0.

    Задача 1. Сколько корней имеет уравнение | | x | – 2 | = a в зависимости от параметра a ?

    Решение. В системе координат (x; y) построим графики функций y = | | x | – 2 | и y = a . График функции y = | | x | – 2 | изображен на рисунке.

    Графиком функции y = α является прямая, параллельная оси Ox или с ней совпадающая (при a = 0).

    Из графика видно, что:

    Если a = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | две общие точки; значит, исходное уравнение имеет два корня (в данном случае корни можно найти: x 1,2 = + 2).
    Если 0 2, то прямая y = a будет иметь с графиком исходной функции две точки, то есть данное уравнение будет иметь два корня.

    Ответ: если a 2, то два корня;
    если a = 2, то три корня;
    если 0 4. Значит, при a = 0 и a > 4 исходное уравнение имеет два корня.
    Если 0 4, то два корня;
    если 0 – 1; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет одно решение.

    При a = – 1, a = – 2 графики пересекаются в двух точках; значит, при этих значениях параметра уравнение (1) имеет два корня.
    При – 2 – 1, то одно решение;
    если a = – 1, a = – 2, то два решения;
    если – 2 1, то два корня.

    Рассмотрим наиболее сложное уравнение.

    Задача 5. При каких значениях параметра a уравнение

    a x 2 + | x – 1 | = 0

    имеет три решения?

    Решение. 1. Контрольным значением параметра для данного уравнения будет число a = 0, при котором уравнение примет вид 0 + | x – 1 | = 0, откуда x = 1. Следовательно, при a = 0 уравнение имеет один корень, что не удовлетворяет условию задачи.

    2. Рассмотрим случай, когда a 0.

    Перепишем уравнение в следующем виде: a x 2 = – | x – 1 |. Заметим, что уравнение будет иметь решения только при a < 0.

    В системе координат xOy построим графики функций y = | x – 1 | и y = a x 2 . График функции y = | x – 1 | изображен на рисунке. Графиком функции y = a x 2 является парабола, ветви которой направлены вниз, так как a < 0. Вершина параболы — точка (0; 0).

    Уравнение будет иметь три решения только тогда, когда прямая y = – x + 1 будет касательной к графику функции y= a x 2 .

    Пусть x 0 — абсцисса точки касания прямой y = – x + 1 с параболой y = a x 2 . Уравнение касательной имеет вид

    y = y(x 0 ) + y ‘(x 0 )(x – x 0 ).

    Запишем условия касания:

    Данное уравнение можно решить без использования понятия производной.

    Рассмотрим другой способ. Воспользуемся тем, что если прямая y = kx + b имеет единственную общую точку с параболой y = a x 2 + px + q, то уравнение a x 2 + px + q = kx + b должно иметь единственное решение, то есть его дискриминант равен нулю. В нашем случае имеем уравнение a x 2 = – x + 1 ( a 0). Дискриминант уравнения

  • Ссылка на основную публикацию
    Adblock
    detector