Решение логарифмических неравенств методом интервалов

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Методы решения логарифмических неравенств

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании называется логарифмическим неравенством.

В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство log_a f(x) > log_a g(x) равносильно системе неравенств

Утверждение 2. Если 0 log_a g(x) равносильно системе неравенств

Утверждение 3. Неравенство log_h(x) f(x) > log_h(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств

0 log_a g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ?, 2 — x) ? log₃(x + 8);d)

b) e) log_2x(x 2 — 5x + 6) 2 — x) ? log₃(x + 8) Ы x 2 — x ? x + 8,Ы x 2 — 2x — 8 ? 0,Ыx+8 > 0,x > -8,Ы x ? -2,x ? 4,Ы x О (-8;-2]И[4;+Ґ).

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

c) Запишем 0 = log₂1 и, используя утверждение 1, получим

Запишем и, используя утверждение 2, получим

d) Используя утверждение 3, получим

Ы x О (3;4),Ы x О (3;4).

Решение первой системы совокупности:

Решение второй системы совокупности:

e) Запишем 1 = log_2x2x, и используем утверждение 3 (учитывая, что знак > заменен на знак 0 сводятся подстановкой t = log_ax к алгебраическому неравенству F(t) > 0.

Пример 2. Решить неравенства

Решение. a) Обозначив , получим квадратное неравенство t 2 + t — 2 ? 0, откуда t ? -2 или t ? 1. Таким образом,

b) Обозначив t = lgx, получим рациональное неравенство

Используя метод интервалов (см., например, [1], [2]), получим

В случае логарифмических неравенств, которые не имеют вид неравенств, входящих в утверждения 1-3, определяется ОДЗ и с помощью равносильных преобразований исходные неравенства сводятся к неравенствам, которые решаются с помощью утверждений 1-3.

Пример 3. Решить неравенства

Решение. a) ОДЗ неравенства — множество (5;+Ґ). Используя свойство P2, получим неравенство

lg(x — 2)(x — 5) 2 > t + 11,

откуда t 5. Поскольку t ? 0, остается t > 5 или Ы x > 5.

Учитывая ОДЗ, получим ответ: x О (5;+Ґ).

d) ОДЗ неравенства есть множество (1;2)И(2;+Ґ). Используя обобщенный метод интервалов, получим

Так как в ОДЗ log₂(x-1) > 0 при x > 2 и log₂(x-1) 3, значит,

Журнал Педагог

Автор: Смирнова Наталья Александровна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ » Гимназия №127″
Населённый пункт: город Снежинск
Наименование материала: Методическая разработка
Тема: » Обобщенный метод интервалов при решении логарифмических неравенств»
Дата публикации: 05.09.2016
Раздел: полное образование

Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»
Тема: Обобщенный метод интервалов при решении

логарифмических неравенств .
В курсе математического анализа формулируется теорема: Теорема: Если   x f непрерывна на отрезке   b a; и не обращается в 0 на открытом промежутке   b a; , то   x f имеет один и тот же знак во всех внутренних точках отрезка   b a; . Это и есть основание для метода интервалов для непрерывной функции: найти нули   x f и определить знаки   x f на промежутках между соседними нулями, вычислив значения в «пробных» точках. Однако иногда «пробную» точку выбрать трудно, иногда при выяснении знака функции в «пробной» точке вычисления могут оказаться громоздкими, и из-за арифметической ошибки результат окажется неверным. Рассмотрим условия равносильности, которые часто
за один шаг

сведут
решение самых распространенных логарифмических неравенств
к решению

рациональных неравенств.
I. Для логарифмических неравенств с заданным основанием а ( где а – положительное , отличное от 1 число) можно записать полное условие равносильности, включающее ОДЗ: логарифмические неравенства вида:   0 log  x f a                0 1 1 0 x f a x f   0 log  x f a                0 1 1 0 x f a x f Условия равносильности верны и для нестрого неравенства. логарифмические неравенства вида:   0 log  x f a                0 1 1 0 x f a x f   0 log  x f a                0 1 1 0 x f a x f
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127» Преимущество использования условий равносильности по сравнению с обычным способом решения даже таких простейших неравенств состоит в том, что мы не думаем о том, большим или меньшим единицы является основание. Это особенно важно при решении задач ЕГЭ, когда время для их решения ограничено.
Правило 1:

Знак
  x f a log
совпадает со знаком произведения
      1 1   x f a
в ОДЗ.
логарифмические неравенства вида:     x g x f a a log log                        0 1 0 0 x g x f a x g x f     x g x f a a log log                        0 1 0 0 x g x f a x g x f Условия равносильности верны и для нестрого неравенства. логарифмические неравенства вида:     x g x f a a log log                        0 1 0 0 x g x f a x g x f     x g x f a a log log                        0 1 0 0 x g x f a x g x f
Правило 2:
Знак разности     x g x f a a log log  совпадает со знаком произведения         x g x f a   1 в ОДЗ.
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127» Правило 2 дает возможность просто справиться с неравенствами, решение которых обычным способом потребует гораздо больше вычислений. Например, можно очень просто решить неравенство вида         0 0 log log    x h x g x f a a По правилу 2, получаем, что           0 1    x h x g x f a
№1.
0 16 7 2 log 5 4 log 2 7 3                 x x x ОДЗ:                ; 4 7 4 1 ; 5 4     0 1 16 7 2 1 7 1 5 4 1 3 2                     x x x 0 4 9 4 1 5 1                  х х х , с учетом ОДЗ
Ответ:
                      4 9 ; 4 7 4 1 ; 5 1 4 1 ; 5 4
№2.
  1 1 1 3 log 3    x x ОДЗ: ) ; 0 (    0 1 3 log 1 3 log 1 3 3      x x x 0 1 3 1 3 1      x x x 0 1 2 3 3    x x 0 1 2 3 log 3    x x
Ответ:
          ; 1 2 3 log ; 0 3
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»
№3
.   1 1 log 3 log 3 1 3 1    x x       0 1 log 1 log 3 log 2 1 3 3 3        x x x ОДЗ: ) ; 1 (         0 1 log 1 log 2 3 log 3 3 3       x x x 0 ) 1 1 )( 1 3 ( ) 3 1 2 )( 1 3 ( 2          x x x x 0 ) 1 )( 2 (    x x x , с учетом ОДЗ
Ответ:
       ; 1 0 ; 1
№4.
Найдите сумму длин промежутков, являющихся решениями неравенства             0 16 lg 2 lg 5 1 2 3 2 2 2       x x x x x Задача интересна тем, что без применения правил решение будет очень громоздким. ОДЗ:     4 ; 0 0 ; 4               0 16 lg 2 lg 5 1 2 3 2 2 2       x x x x x         0 16 2 5 5 3 2 2          x x x x x x , с учетом ОДЗ:     4 ; 3 3 4 ; 5 0 ; 5 3 4 ; 4                    x Сумма длин промежутков равна 5 3 4 5 3 4 5 0 4 3 4         
Ответ:
5. II. Логарифмы с переменным основанием. логарифмические неравенства вида:     0 log  x f x a                       0 1 1 0 0 x f x a x a x f
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»     0 log  x f x a                       0 1 1 0 0 x f x a x a x f Для нестрого неравенства условие выглядит так: логарифмические неравенства вида:     0 log  x f x a                            0 1 1 1 0 0 x f x a x a x a x f     0 log  x f x a                            0 1 1 1 0 0 x f x a x a x a x f
Правило 3:
Знак функции     x f x a log совпадает со знаком произведения         1 1   x f x a в ОДЗ. По определению,               x a x g x f x g x f x a x a lg lg lg log log    и, в силу правил 1 , 2 справедливо логарифмические неравенства вида:         x g x f x a x a log log                               0 1 0 0 0 x g x f x a x a x g x f         x g x f x a x a log log                               0 1 0 0 0 x g x f x a x a x g x f При решении нестрого неравенства условия равносильности примут вид
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127» логарифмические неравенства вида:         x g x f x a x a log log                                    0 1 1 0 0 0 x g x f x a x a x a x g x f         x g x f x a x a log log                                    0 1 1 0 0 0 x g x f x a x a x a x g x f
Правило 4:
Знак разности         x g x f x a x a log log  совпадает со знаком произведения           x g x f x a   1 в ОДЗ. Преимущество и красота приведенных условий равносильности состоит в том, что мы за один шаг освободились от логарифмов и переменных оснований, и теперь, если основание логарифма и подлогарифмическое выражение являются рациональными функциями, можно воспользоваться классическим методом интервалов. Заметим, что условия раносильности формально точно такие же, как и для логарифмов с постоянным основанием, а потому легко запоминаются. Именно это и дает основание называть частное     x а x f lg lg просто     x f x a log . Но как показывает практика, полными услвиями равносильности не всегда удобно пользоваться. Это происходит, если входящие в условия равносильности неравенства громоздки. Тогда удобно отделить нахождение ОДЗ от решения основного неравенства.
№5.
1 3 log 4 log 1 4 log 9 9     x x x ОДЗ: ) ; 1 ( ) 1 ; 0 (   1 log 2 log 1 4 log 9 9 9     x x x 0 log ) log 1 ( 2 log 3 log 2 9 9 9 9 2      x x x x 0 log ) log 1 ( ) 2 1 (log ) 2 (log 2 9 9 9 9        x x x x
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127» 0 ) 1 log (log ) 9 1 log (log ) 3 log (log ) 81 1 log (log 9 9 9 9 9 9 9 9        x x x x             0 9 1 1 9 1 1 9 3 1 9 81 1 1 9                      x x x x      0 9 1 1 3 81 1                  x x x x , с учетом ОДЗ
Ответ:
  3 ; 1 9 1 ; 81 1       
№6.
      1 1 3 3 3 3 3 3 3 5 log 3 5 log 9 25 log           x x x x x x x x x                        0 3 5 3 5 1 3 3 0 3 5 0 3 3 1 1 x x x x x x x x                          0 3 3 4 5 5 4 1 3 3 0 1 x x x x x                                          0 3 5 3 5 2 3 4 3 0 1 0 1 x x x x x                              0 1 3 2 3 4 0 1 x x x x x
Ответ:
             3 4 ; 1 3 2 ; 0
№7
. Найти значения параметра а, при которых область определения функции     1 log 2 log      ax a x у a a не пуста. Укажите эту область определения.     0 1 log 2 log      ax a x a a                            0 1 2 1 0 1 0 2 1 0 ax a x a ax a x a a
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»                            0 ) 3 ( ) 1 ( 1 0 1 2 2 1 0 a a x a ax a x a a                            0 1 3 1 2 1 0 2 a a x a a x a a ax+1 > 0 при условии, что х > 2, a > 0                 a a х a x a a 1 3 2 1 0 Если а > 1, то условия х > 2 и а а х    1 3 противоречивы. Если 0

Логарифмические неравенства с числовым основанием (страница 3)

(blacktriangleright) Стандартное логарифмическое неравенство [geqslant log_a>>] где (a>0, ane 1)
(на месте знака (geqslant) может стоять любой из знаков (leqslant, >, 1>>) , то данное неравенство равносильно системе [ f(x)geqslant g(x)\ g(x)>0 end>>] Заметим, что условие (f(x)>0) учитывается автоматически в такой системе.

(blacktriangleright) С помощью формулы (>>) можно любое число (b) представить в виде логарифма по необходимому нам основанию (a>0, ane 1) .

ОДЗ логарифмов: (x>0) .
На ОДЗ верно: (log_55x^4=log_55+log_5x^4=1+4log_5|x|=1+4log_5x) .
Сделаем замену (log_5x=t) , тогда неравенство примет вид [1+dfrac 4+dfrac 3geqslant 0quadLeftrightarrowquad dfrac<(t-2)^2>geqslant 0quadLeftrightarrowquad dfrac<(t-1)(t+1)><(t-2)^2>geqslant 0] Решим полученное неравенство методом интервалов:
Таким образом, возвращаясь к старой переменной, можем записать: [begin left[beginbegin &log_5xleqslant -1\ &log_5xgeqslant 1endendright. \ log_5xne 2endquadLeftrightarrowquad begin left[beginbegin &xleqslant dfrac15\[2ex] &xgeqslant 5 endendright. \ xne 25end] Пересекая полученный ответ с ОДЗ (x>0) , получаем окончательный ответ
(xinleft(0;frac15right]cup[5;25)cup(25;+infty) )

[begin log_5 (x + 11)^2geqslant 2log_>sqrt + log_ <625>(x + 11)^8 end]

ОДЗ: [begin (x + 11)^2 > 0\ sqrt > 0\ (x + 11)^8 > 0 end qquadLeftrightarrowqquad x > 0.]

При (x > 0) :
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin &log_5 (x + 11)^2geqslant 2log_<5^<0,5>>x^ <0,5>+ log_ <5^4>(x + 11)^8quadLeftrightarrow\ &Leftrightarrowquad log_5 (x + 11)^2geqslant 2log_5 x + log_5 (x + 11)^2quadLeftrightarrow\ &Leftrightarrowquad 0geqslant 2log_5 x qquadLeftrightarrowqquad 0geqslant log_5 x qquadLeftrightarrowqquad log_5 1geqslant log_5 x qquadLeftrightarrowqquad 1geqslant x,. end]

Таким образом, с учётом ОДЗ ответ: [xin(0; 1].]

[begin log_<4>^3 x — 3 + 0,25log_<4>^2x^2 — 4log_4 xgeqslant 1 end]

Исходное неравенство равносильно

[begin log_<4>^3 x + 0,25cdot (2log_<4>|x|)^2 — 4log_4 x — 4geqslant 0 end]

Так как на ОДЗ выполнено (|x| = x) , то последнее неравенство равносильно неравенству

[begin log_<4>^3 x + log_<4>^2 x — 4log_4 x — 4geqslant 0 end]

Сделаем замену (t = log_4 x) :

[begin t^3 + t^2 — 4t — 4geqslant 0 end]

В левой части последнего неравенства сгруппируем слагаемые (первое со вторым, третье с четвёртым):

[begin t^2(t + 1) — 4(t + 1)geqslant 0 Leftrightarrow (t^2 — 4)(t + 1)geqslant 0 Leftrightarrow (t — 2)(t + 2)(t + 1)geqslant 0 end]

По методу интервалов:

откуда (tin[-2; -1]cup [2; +infty)) .

Тогда [left[ begin -2 leqslant log_4 xleqslant -1\ log_4 xgeqslant 2 end right. Leftrightarrow left[ begin log_4dfrac<1> <16>leqslant log_4 xleqslant log_4dfrac<1><4>\ log_4 xgeqslant log_4 16 end right. Leftrightarrow left[ begin dfrac<1> <16>leqslant xleqslant dfrac<1><4>\ xgeqslant 16 end right.]

С учётом ОДЗ ответ: (xinleft[dfrac<1><16>; dfrac<1><4>right]cup [16; +infty)) .

Решите неравенство [log_<64x>4cdot left(log_<0,5>8xright)^2leqslant 3]

ОДЗ неравенства: (64x>0, 64xne 1, 8x>0) , то есть (xin left(0;frac1<64>right)cupleft(frac1<64>;+inftyright)) .

Решим неравенство на ОДЗ.
Первый логарифм преобразуется в [log_<64x>4=dfrac1=dfrac1= dfrac1<3+frac12log_2x>] Второй логарифм преобразуется: [log_<0,5>8x=-(log_28+log_2x)=-3-log_2x] Сделаем замену: (log_2x=t) . Тогда неравенство примет вид: [dfrac1<3+frac12t>cdot left(-3-tright)^2leqslant 3quadLeftrightarrowquad dfrac<2(t+3)^2-3(t+6)>leqslant 0quadLeftrightarrowquad dfracleqslant 0] Решая данное неравенство методом интервалов, получаем: [tin (-infty;-6)cupleft[-frac92; 0right]] Сделаем обратную замену: [left[beginbegin & log_2x 0\ sqrt > 0\ (x — 2)^ <-4032>> 0 end qquadLeftrightarrowqquad xin(0; 2)cup(2; +infty).]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin &log_4 (x — 2)^<2016>geqslant log_<4^<0,5>>x^ <0,5>+ log_<4^<-2>> (x — 2)^<-4032>quad Leftrightarrow\ &Leftrightarrowquad log_4 (x — 2)^<2016>geqslant log_4 x +log_4 (x — 2)^<2016> Leftrightarrow\ &Leftrightarrowquad 0 geqslant log_4 xqquadLeftrightarrowqquad log_4 1 geqslant log_4 xqquadLeftrightarrowqquad 1 geqslant x,. end]

Таким образом, с учётом ОДЗ ответ: [xin(0; 1].]

ОДЗ: [begin x^2>0 \ x^2ne 1\ x-2>0\ x-2ne 1\ (x-2)^2>0\ 3x^2>0\ x>0\ xne 1 end quad Leftrightarrow quad begin xne 0\ xne pm 1\ x>2\ xne 3\ xne 2\ x>0 end quad Leftrightarrow quad xin (2;3)cup(3;+infty).]

Решим неравенство на ОДЗ. Т.к. из ОДЗ следует, что (x>2) , то [begin &1) log_<25>=log_<|x|>5=log_x5\ &2) log_<(x-2)^2>=2\ &3) log_x<(3x^2)>=log_x<3>+log_x=log_x3+2 end]

Следовательно, неравенство на ОДЗ равносильно [log_x5+2geqslant 2+log_x3 quad Leftrightarrow quad log_x5geqslant log_x3 quad Leftrightarrow quad log_xgeqslant 0] Т.к. (log_ab=dfrac1) , то полученное неравенство равносильно [dfrac1x>geqslant 0 quad Leftrightarrow quad log_x>0 quad Leftrightarrow x>1.] Пересекая ответ с ОДЗ, получим (xin (2;3)cup(3;+infty)) .

Заметим, что на ОДЗ логарифм может быть равен нулю тогда и только тогда, когда его аргумент равен 1, и больше нуля, когда основание и аргумент лежат по одну сторону от 1. Следовательно, (log_x) не может быть равен 0, а больше нуля он тогда и только тогда, когда основание (x) больше 1. То есть неравенство (log_xgeqslant 0) равносильно (x>1) .

Решите неравенство [log_2left(2log_4x^4right)>log_8^<-1>log_4log_2 256^2]

ОДЗ: [begin x^4>0\ 2log_4x^4>0 end quad Leftrightarrow quad begin xne 0\x^4>1 end quad Leftrightarrow (x^2+1)(x-1)(x+1)>0 quad Leftrightarrow quad xin (-infty;-1)cup(1;+infty).]

Решим неравенство на ОДЗ. Преобразуем правую часть: [log_8^<-1>log_4log_2 256^2=left(log_8log_4log_2<2^<16>>right)^<-1>= left(log_8log_4<16>right)^<-1>=left(log_82right)^<-1>= left(frac13right)^<-1>=3.]

Таким образом, неравенство равносильно [log_2left(2log_4x^4right)>3 quad Leftrightarrow quad log_2left(2log_4x^4right)>log_28] Т.к. основание логарифма больше единицы ( (2>1) ), то неравенство на ОДЗ равносильно [2log_4x^4>8 quad Leftrightarrow quad log_4x^4>4 quad Leftrightarrow quad log_4x^4>log_44^4] Т.к. основание логарифма больше единицы ( (4>1) ), то неравенство на ОДЗ равносильно [x^4>4^4 quad Leftrightarrow quad (x^2+4^2)(x-4)(x+4)>0 quad Leftrightarrow quad xin (-infty;-4)cup(4;+infty).] Пересекая ответ с ОДЗ, получаем (xin (-infty;-4)cup(4;+infty)) .

Решение логарифмических неравенств (продолжение)

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

В данном уроке мы рассмотрим решение логарифмических неравенств повышенной сложности, в частности, неравенств с переменным основанием логарифма.

Тема: Показательная и логарифмическая функции

Урок: Решение логарифмических неравенств (продолжение)

1. Введение

Пусть а – некоторое фиксированное число, при чем , а – основание логарифма. Логарифмическая функция монотонно возрастает. Тогда нам известно эквивалентное решение логарифмического неравенства:

Теперь пусть . Логарифмическая функция монотонно убывает:

2. Алгоритм решения простейших логарифмических неравенств с фиксированным основанием

Рассмотрим случай, когда основание логарифма зависит от х . Тогда нужно рассмотреть два случая:

Наша цель состоит в том, чтобы упростить полученную громоздкую совокупность.

3. Алгоритм решения логарифмических неравенств с переменным основанием, два способа

Напомним важный опорный факт:

Нам потребуются следующие выражения:

4. Решение примера

Теперь нам проще решить следующую задачу.

Дано:

Мы определили, что заданное неравенство эквивалентно следующей совокупности:

Согласно опорному факту, полученная совокупность эквивалентна системе:

Что и требовалось доказать.

5. Решение нестрогого неравенства с переменным основанием

Пример 1 – решить неравенство:

Уравняем основания логарифмов, в данном случае представим число в правой части как логарифм с требуемым основанием:

Решим неравенство двумя способами.

Рис. 1. Иллюстрация к решению примера 1

Ответ:

Составим эквивалентную систему:

Проиллюстрируем решение дробно-рационального неравенства:

Рис. 2. Интервалы знакопостоянства

Получаем решение системы:

Ответ:

Теперь рассмотрим решение нестрогого логарифмического неравенства , где

Заданному неравенству эквивалентна система:

6. Решение примера

Пример 2 – решить неравенство:

Решаем с помощью эквивалентной системы (второй способ). Уравняем основания логарифмов, в данном случае представим число в правой части как логарифм с требуемым основанием:

Составим эквивалентную систему:

Покажем решение первого неравенства методом интервалов:

Рис. 3. Иллюстрация решения примера 2

Учитывая ОДЗ, имеем ответ:

Итак, мы рассмотрели решение логарифмических неравенств повыщенной сложности. Далее перейдем к изучению новой темы – дифференцирование показательной функции.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Рекомендованное домашнее задание

1. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

2. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

3. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств

Метод рационализации при решении

показательных и логарифмических неравенств

Из опыта работы учителя математики, физики МОУ «Сольвычегодская СОШ» Ноговицыной Валентины Валериевны

Решение неравенств методом интервалов достаточно часто приводит к затруднению при вычислении значения функции в промежуточных точках. Чтобы расширить возможности применения метода интервалов, рассмотрим метод рационализации.

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения на более простое выражение , при которой неравенство равносильно неравенству в области определения выражения.

Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G, где — выражения от переменной х , а – фиксированное число .

Некоторые следствия (с учетом ОДЗ неравенства)

Рассмотрим примеры сведения логарифмических и показательных неравенств, у которых основание, выражение под знаком логарифма, степень – многочлены. Оказывается, такие неравенства эффективно сводятся к дробно-рациональным или рациональным, причём, полученные решения будут более компактными по сравнению с традиционными.

Сведение логарифмического неравенства к системе рациональных неравенств

Рассмотрим логарифмическое неравенство вида

, (1)

где — некоторые функции (об их природе будем говорить ниже).

Стандартный метод решения такого неравенства предполагает разбор двух случаев на области допустимых значений неравенства:

Рассмотрев два случая, необходимо объединить ответы. Правда, при рассмотрении второго случая возникает определенный дискомфорт – приходится на 90 процентов повторять выкладки из первого случая (преобразовывать, находить корни вспомогательных уравнений, определять промежутки монотонности знака). Возникает естественный вопрос – можно ли все это как-нибудь рационализировать объединить?

Ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме.

Теорема 1. Логарифмическое неравенство

равносильно следующей системе неравенств:

(2)

Доказательство. Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство. Если , то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство . Если же , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство . Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода. Терема доказана

Пример 1. Решить неравенство .

Решение. Воспользуемся теоремой 1. Получим следующую систему неравенств:

Решая первые четыре неравенства, находим ОДЗ исходного неравенства:

Откуда: .

Решим теперь пятое неравенство системы:.

.

.

С учетом найденного ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ.

Ответ: .

Сведение показательного неравенства к системе рациональных неравенств

Рассмотрим показательное неравенство вида

(3)

где — некоторые функции.

Традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям:

1. если , то ; 2.если , то .

Как и в случае с логарифмическим неравенством, имеется возможность значительно укоротить решение задачи, используя метод рационализации. Этот метод основан на следующей теореме.

Теорема 2. Показательное неравенство

равносильно следующей системе неравенств:

(4)

Нетрудно заметить, что система (4) аналогична системе (2) из теоремы 1 (правда, в ней нет требования положительности степеней).

Пример 2. Решить неравенство

.

Решение. Составим систему неравенств, аналогичную системе (4) из теоремы 2:

Решив два первых неравенства, найдем ОДЗ исходного показательного неравенства:

Откуда ОДЗ: .

Далее рассмотрим основное неравенство , которое приводится к виду: .

Корни первого множителя этого неравенства мы нашли ранее: . Корни второго множителя равны: , , .

Так как , то . Применив метод интервалов, получим следующее решение основного неравенства: .

Учитывая найденную ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ:

.

Пимер 3. Решить систему неравенств

Решение: Рассмотрим решение каждого неравенства отдельно:

(2): введем замену

— система несовместна, т.к. по первому неравенству

Выберем решение системы , т.к. .

Ответ: .

Задания для самостоятельного решения.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 11 кл. общеобразовательных учреждений /[, , ] – 5-ое изд. – М.: Просвещение, учебники»,2006.

2. , . Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»: лекции 1-4. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2012.

3. Колесникова, . Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ. Айриспресс 2014г.